Προκόπης Παυλόπουλος: Η συμβολή της Ελληνικής Γλώσσας στην εξέλιξη της Επιστήμης των Μαθηματικών

Παραχώρησε ομιλία στην εκδήλωση της Ακαδημίας Αθηνών για την Ημέρα της Ελληνικής Γλώσσας, με θέμα: «Επισημάνσεις για την συμβολή της Ελληνικής Γλώσσας στην εξέλιξη της Επιστήμης των Μαθηματικών» 

Μιλώντας στην εκδήλωση της Ακαδημίας Αθηνών για την Ημέρα της Ελληνικής Γλώσσας, με θέμα: «Επισημάνσεις για την συμβολή της Ελληνικής Γλώσσας στην εξέλιξη της Επιστήμης των Μαθηματικών», ο τέως Πρόεδρος της Δημοκρατίας, Ακαδημαϊκός και Επίτιμος Καθηγητής της Νομικής Σχολής του ΕΚΠΑ κ. Προκόπιος Παυλόπουλος προχώρησε σε μια σειρά επισημάνσεων. Συγκεκριμένα, ο τέως Πρόεδρος της Δημοκρατίας μεταξύ άλλων σημείωσε τα εξής:

Πρόλογος

Το παράδειγμα της ανάπτυξης της Επιστήμης των,  υπό την ευρεία του όρου έννοια, Μαθηματικών στην Αρχαία Ελλάδα  μέσω και της Ελληνικής Γλώσσας είναι άκρως ενδεικτικό της συνεισφοράς του Αρχαίου Ελληνικού Πνεύματος – με αφετηρία την Σκέψη των Προσωκρατικών – στην ανακάλυψη της Επιστημονικής Μεθόδου.  Η αρχή ανάγεται στον 5ο π.Χ. αιώνα, κυρίως με τον Λεύκιππο και τον Δημόκριτο, στο πεδίο της Ατομικής Θεωρίας και τον Πυθαγόρα στο πεδίο των Μαθηματικών.  Άκρως αποκαλυπτική είναι η συνέχεια, πρωτίστως με τον Θαλή και τον Ευκλείδη στην Γεωμετρία και τον Διόφαντο στην Άλγεβρα, βεβαίως κατά το επιστημονικό όνομα που πήρε αυτή αργότερα.  Είναι απαραίτητο να διευκρινισθεί περισσότερο εκείνο που ήδη επισημάνθηκε, ακροθιγώς, ως προς την σύνδεση της Επιστήμης των Μαθηματικών στην Αρχαία Ελλάδα με την Ελληνική Γλώσσα. Και τούτο διότι αποφασιστική, από πλευράς επιστημονικής δημιουργίας, υπήρξε -φυσικά μεταξύ άλλων- η «συνάντηση» της Ελληνικής Γλώσσας με την Επιστήμη των Μαθηματικών.  Και αυτή η «συνάντηση» ήταν η αιτία, η οποία εξηγεί το γιατί και άλλοι, βεβαίως, Λαοί στην Αρχαιότητα είχαν αξιοσημείωτη γνώση στον ευρύτερο χώρο των Μαθηματικών.  Πλην όμως οι Έλληνες πρωτοπόρησαν στην θεμελίωση της Επιστήμης των Μαθηματικών, με κολοφώνα τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη, το έργο του Ευδόξου και του Αρχιμήδη -σχετικά με το είδος των Μαθηματικών,  που είναι γνωστά από τον 17ο αιώνα και μετά ως «απειροστικά μαθηματικά»- και την εν γένει μαθηματική σκέψη του Διοφάντου όπως προκύπτει, μεταξύ άλλων, από τα εξής:

 Ι.  Η υφή της Ελληνικής Γλώσσας

Προφανώς, κάτι υπήρχε ειδικώς στην γλωσσική υφή της Ελληνικής Γλώσσας που αποδείχθηκε πρόσφορο για την σχέση, η οποία διαμορφώθηκε μεταξύ αυτής και των Μαθηματικών.

Α.  Και τούτο εντοπίζεται, κατά κύριο λόγο, στις εξής δύο «ιδιομορφίες» της: Κατά πρώτο λόγο σε μια ειδική γραμματική προϋπόθεση της Ελληνικής Γλώσσας, συγκεκριμένα στην ύπαρξη του οριστικού άρθρου, κάτι ανύπαρκτο π.χ. στην λατινική γλώσσα.  Το οριστικό άρθρο εξελίχθηκε στην μεθομηρική Ελληνική Γλώσσα από την αντωνυμική χρήση του «ο, η, το».  Το άρθρο, προτασσόμενο σε συγκεκριμένες γραμματικές δομές της γλώσσας, δημιουργεί «αφηρημένη έκφραση».  Και αυτή, στην χρονική συνέχεια, οδηγεί στο «αφηρημένο ουσιαστικό».  Το δε «αφηρημένο» είναι, εξ ορισμού και εκ φύσεως, η βάση του σχηματισμού λογικών προτάσεων και συλλογισμών, ένα στοιχείο σύμφυτο με την ανάπτυξη της Μαθηματικής Σκέψης, ιδίως στην πρώιμη φάση της. 

Β.  Και, κατά δεύτερο λόγο, η ως άνω ευνοϊκή γραμματική προϋπόθεση συμπορεύθηκε, ως προς την σχέση μεταξύ της Ελληνικής Γλώσσας και της  Μαθηματικής Σκέψης, μ’ ένα γενικότερο όρο που διέπει εξ αρχής την Ελληνική Σκέψη: Την «ακατάσχετη» και «καθολική» ροπή προς την κατεύθυνση της εύρεσης της «ατομικής μονάδας» σε κάθε χώρο του επιστητού.  Είναι η ροπή που «απομόνωσε», στον εκφερόμενο και ακουόμενο λόγο, τον «φθόγγο», ως την έσχατη ατομική και αδιαίρετη ακουστική μονάδα, που υπήρξε η βάση του μετασχηματισμού του φοινικικού αλφαβήτου σ’ Ελληνικό.  Και είναι αυτή η ροπή η οποία «απομόνωσε», με την μέθοδο ιδίως του Δημοκρίτου, το άτομο, αναδεικνύοντάς το ως την έσχατη, άτμητη και αδιαίρετη, μονάδα της ύλης.

ΙΙ.  Τα Μαθηματικά στην Αρχαία Ελλάδα

Καθώς παρατηρεί ο J.L.Gardies (L’organisation des mathématiques grecques de Théétète à Archimède, Paris, εκδ. Vrin, 1997, σελ. 270 και κυρίως 276 επ.), μοναδική υπήρξε η συμβολή των Αρχαίων Ελλήνων στον τομέα των Μαθηματικών, σε ό,τι αφορά την σύνθεση προβλήματος και απόδειξης.  

Α.  Και για την ακρίβεια, σε ό,τι αφορά από την μια πλευρά την διαμόρφωση του προβλήματος, μέσω της διατύπωσης του θεωρήματος με την μαθηματική εκείνη ιδιότητα, η οποία του προσδίδει την πιο γενική μορφή.  Και, από την άλλη πλευρά, την προσθήκη, στην διαδικασία λύσης του προβλήματος, της κατάλληλης απόδειξης.  Επιπροσθέτως, στο σημείο αυτό δεν πρέπει να υποτιμάται το ότι η παραγωγή και η επαγωγή αναπτύχθηκαν στην Ελληνική διανόηση πολύ ενωρίς, με την εμφάνιση της εμπειρικής γλώσσας των Ιώνων στην Φιλοσοφία και ήδη στην Αρχαϊκή Ποίηση.

Β. Μέσα, λοιπόν, από αυτή την εμβληματική «διαδρομή» η Ελληνική Γλώσσα κατέστησε εφικτή και την δημιουργία γλωσσικών διατυπώσεων τέτοιας «αφαιρετικότητας», ώστε να μπορεί να «συντονίζεται» ευχερώς ακόμη και με ακραίως αφηρημένες μαθηματικές έννοιες.  Γι’ αυτό και η Ελληνική Γλώσσα αναδείχθηκε στην πιο κατάλληλη «μεταγλώσσα» ως προς τα Μαθηματικά, προκαλώντας την «έκρηξη» της εν γένει μαθηματικής γνώσης.

ΙΙΙ. Η Ελληνική Γλώσσα και τα «σύμβολα»

Η προαναφερόμενη όμως -μοναδική όπως τονίσθηκε- συμβολή των Αρχαίων Ελλήνων στην δημιουργία της Επιστήμης των Μαθηματικών κατέστη δυνατή μέσω της εξίσου μοναδικής ιδιοσυστασίας της Ελληνικής Γλώσσας. Εξ ού και Λαοί που δεν διέθεταν το κατάλληλο «γλωσσικό εργαλείο» δεν κατάφεραν να κάνουν ανάλογα επιστημονικά βήματα.

Α.  Κατ’ ουσία δε, η ως άνω ιδιοσυστασία έγκειται, πρωτίστως, στο ότι η Ελληνική Γλώσσα είναι οιονεί «ιδανική» στο πεδίο της παραγωγής «συμβόλων», ικανών ν’ απεικονίσουν επαρκώς την Σκέψη, έτσι ώστε να δομηθεί η αναγκαία, για την συνολική επιστημονική δημιουργία, «κιβωτός γνώσεων».  Κυρίως δε η «κιβωτός γνώσεων» που άνοιξε τον δρόμο στην θεμελίωση και εξέλιξη της Επιστήμης των Μαθηματικών (βλ., αντί άλλης παραπομπής, Χρ. Φίλη «Οι Αρχαιοελληνικές Καταβολές των Σύγχρονων Μαθηματικών», εκδ. Παπασωτηρίου, Αθήνα, 2010, σελ. 877).

Β.  Είναι ιδιαιτέρως ενδεικτικό προς αυτή την κατεύθυνση ότι τα σύμβολα διευκόλυναν καθοριστικώς και την χρήση των αριθμών ως,  κατά την φύση τους και τον προορισμό τους, βάσης της μαθηματικής σκέψης, όπως συνάγεται και από τα εξής: Ετυμολογικώς η λέξη «αριθμός» προκύπτει από την σύνθεση του ρήματος «αραρίσκω» – αναδιπλασιασμένος τύπος του «άρω» – που σημαίνει, μεταξύ άλλων, την αρμονική σύνδεση δεδομένων μεταξύ τους,  και του ουσιαστικού το «ίθμα», που σημαίνει το «βήμα».  Με άλλες λέξεις,  ο «αριθμός» είναι το μέσο για να τεθεί κάτι στην σωστή του θέση σε σχέση με συγγενή δεδομένα, και υπ’ αυτό το πρίσμα ο αριθμητικός συλλογισμός μπορεί να κάνει τα επόμενα βήματα, κυρίως για την διατύπωση ενός προβλήματος.  Ακριβώς αυτή την λειτουργία των αριθμών διευκόλυναν καθοριστικώς, όπως προεκτέθηκε, τα σύμβολα, κατ’ εξοχήν ως προς την διατύπωση ενός προβλήματος.  Πολλώ μάλλον αφού, όπως η ίδια η Ιστορία των Επιστημών έχει τεκμηριώσει, προ της χρήσης των συμβόλων,  με «όχημα» διαμόρφωσής τους την Ελληνική Γλώσσα, δεν είχε «αναδυθεί» επαρκώς η επιστημονική προσέγγιση και καλλιέργεια των Μαθηματικών.

Γ.  Μέσω των «εργαλείων» της Ελληνικής Γλώσσας εξελίχθηκε και η μαθηματική σκέψη του Διοφάντου του Αλεξανδρέως.  

1. Και τούτο, διότι η ιδιοσυστασία της Ελληνικής Γλώσσας επέτρεψε στον Διόφαντο ν’ ανοίξει τον δρόμο στην «πρόδρομη» κατάσταση της διαμόρφωσης ενός μαθηματικού προβλήματος, υπό όρους που καταλήγουν στις λεγόμενες «πολυωνυμικές αλγεβρικές εξισώσεις», όπως είναι η «διώνυμη εξίσωση» αxn =bxm ή η «τριώνυμη εξίσωση» . Καθώς επίσης γίνεται δεκτό, ότι η αναζήτηση των λεγόμενων «Πυθαγόρειων τριάδων» -ήτοι ακέραιων λύσεων της εξίσωσης «χ2 + ψ2 = γ2»- αποτελεί μέρος των κλασικών προβλημάτων της όλης ανάλυσης του Διοφάντου.  Δικαίως, λοιπόν, τ’ «Αριθμητικά» του Διοφάντου -σε δεκατρία βιβλία, από τα οποία σώζονται έξη στην Ελληνική Γλώσσα και τέσσερα σε αραβική μετάφραση- θεωρούνται, και σήμερα, «θεμέλιο» της δημιουργίας της παράδοσης, η οποία οδήγησε στην δημιουργία της αλγεβρικής σκέψης και ανάλυσης της νεότερης εποχής.  Διότι, όπως έχει γράψει ο J.Klein, η «σύγχρονη άλγεβρα και ο σύγχρονος φορμαλισμός προέκυψαν από την ενασχόληση του Viète με τον Διόφαντο» (βλ. J. Klein, «Ο κόσμος της Φυσικής και ο “φυσικός” κόσμος», μετ. Δ. Λάππας, Μ. Μυτιληναίος, Γ. Σαγιάς, Τ. Σπύρου, Γ. Χριστιανίδης, Νεύσις 7 (1998), 41-74. Το αγγλικό κείμενο δημοσιεύθηκε το 1981, στο περιοδικό «The St. Johns Review» και ανατυπώθηκε στην συλλογή, R.B. Williamson and E. Zucherman (επιμ.) «Jacob Klein: Lectures and Essays», Annapolis, Maryland, St. John’s College Press, 1985, 1-34).

2. Ας σημειωθεί ότι ο όρος «Άλγεβρα» ανήκει στον Πέρση μαθηματικό, αστρονόμο και γεωγράφο Αμπού Μουσά αλ-Χουαρίζμι.  Ο οποίος πολύ αργότερα, τον 9ο αιώνα -κοντά 500 χρόνια μετά τον Διόφαντο- παρουσίασε, είναι αλήθεια για πρώτη φορά, την συστηματική επίλυση της δευτεροβάθμιας πολυωνυμικής εξίσωσης. Αξίζει, λοιπόν, ν’ αναρωτηθούμε: Θα είχε, άραγε, οδηγηθεί ο αλ-Χουαρίζμι, έστω και στα χρόνια του, στην αλγεβρική του ανάλυση δίχως την πρωτοποριακή μαθηματική «παρακαταθήκη» του Διοφάντου αναφορικά με την δημιουργία των, «πρόδρομων» κατά τ’ ανωτέρω, αλγεβρικών τεχνικών επίλυσης προβλημάτων, μέσω της «αφαιρετικής» δύναμης της Ελληνικής Γλώσσας;

ΙV. Η διαμόρφωση της Παραγωγικής Μεθόδου

Σ’ επίρρωση των ανωτέρω αξίζει να γίνει, εν προκειμένω, ειδική αναφορά στο σύγγραμμα του Reviel Netz, Καθηγητή Ελληνικών Μαθηματικών και Αστρονομίας στο Πανεπιστήμιο Stanford των ΗΠΑ -ενός εκ των κορυφαίων μελετητών του έργου του Αρχιμήδη- με τίτλο: «Η διαμόρφωση της Παραγωγικής Μεθόδου στα Ελληνικά Μαθηματικά-Μια μελέτη υπό το πρίσμα της γνωσιακής επιστήμης» (απόδοση στα ελληνικά Β. Σπυρόπουλου, επιστημονική επιμέλεια Γ. Χριστιανίδη και Μ. Σιάλαρου, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 2019).

Α. Στο σύγγραμμα αυτό μελετάται ένα θέμα κεφαλαιώδους σημασίας για την όλη ιστορία του Δυτικού Πολιτισμού.  Ήτοι η διαμόρφωση της παραγωγικής απόδειξης στα Κλασικά Ελληνικά Μαθηματικά.  Η εντυπωσιακή, κυριολεκτικώς, πρωτοτυπία του ως άνω έργου του Reviel Netz έγκειται στο γεγονός ότι ο συγγραφέας εστιάζει την ανάλυσή του σε δύο, θεμελιώδη, χαρακτηριστικά της πρακτικής των Ελληνικών αποδείξεων, το εγγράμματο διάγραμμα και την τεχνική, λογοτυπική γλώσσα.  Δίχως μάλιστα να παραλείπει, έστω και κατ’ ελάχιστο, την ανάδειξη των υλικών και κοινωνικών συνθηκών αλλά και των πρακτικών, εντός των οποίων τα κατά τ’ ανωτέρω χαρακτηριστικά «αναδύθηκαν», μέσα στην πορεία της εξέλιξης των Ελληνικών Μαθηματικών.

Β. Ειδικότερα, ο Reviel Netz ανέδειξε ότι οι τεχνικές που τότε ανέπτυξαν οι Έλληνες Μαθηματικοί -εστιάζοντας την μελέτη του στον Ευκλείδη, τον Αρχιμήδη και τον Απολλώνιο- για την κατασκευή γραμμάτων στα διαγράμματά τους και, συνακόλουθα, η συνεχής αλληλεπίδραση μεταξύ του κειμένου και του διαγράμματος στις αποδείξεις τους, υπήρξαν καίριας σημασίας για την «γέννηση» της παραγωγικής απόδειξης. Με τον τρόπο αυτόν ο Reviel Netz κατάφερε ν’ αποσαφηνίσει, επαρκώς, και τις υποκείμενες γνωστικές διαδικασίες.

Επίλογος

Το γεγονός, όμως, αυτό έχει και μια δεύτερη, ευρύτερη, σημασία που αφορά την πορεία της όλης Επιστήμης στην Δύση, άρα την πορεία αυτού τούτου του Δυτικού Πολιτισμού.  Είναι δε χαρακτηριστικά τα όσα, συνοπτικώς, υπογραμμίζει ο ίδιος ο Reviel Netz στην εισαγωγή, την οποία έγραψε για την ελληνική έκδοση του προμνημονευόμενου συγγράμματός του: «Οι Έλληνες μαθηματικοί ανακάλυψαν μια συγκεκριμένη πρακτική και ένα συγκεκριμένο σύνολο εργαλείων, που κατέστησαν δυνατό ένα συγκεκριμένο έργο: Την συνεπή άσκηση της παραγωγικής απόδειξης.  Αυτό θα παίξει ουσιαστικό ρόλο στην ανάδυση της δυτικής επιστήμης.  Η προοπτική της απόδειξης οδήγησε στην μαθηματικοποίηση του συνόλου της επιστήμης, και εν τέλει στο νευτώνειο πρόγραμμα το οποίο, με την επιτυχία του, άνοιξε το δρόμο για την βιομηχανική επανάσταση και την άνοδο της Δύσης» (όπ. παρ., σελ. XV-XVI).»

kathimerini.gr

Η Άλγεβρα των αρχαίων Ελλήνων

Αντίθετα με ό,τι πιστεύαμε ως σήμερα, η Αλγεβρα δεν είναι επινόηση των Αράβων. Νέα μελέτη αποδεικνύει ότι παλαιότερα οι αρχαίοι Ελληνες είχαν εφεύρει «αλγεβρικούς» τρόπους επίλυσης πρακτικών προβλημάτων

Μέσα σε αυτά τα δύο έγγραφα κρύβεται μια σημαντική για τα ελληνικά Μαθηματικά ανακάλυψη. Χρειάζεται βέβαια αρκετή εξάσκηση και υπομονή για να βρεις δεξιά την παραπομπή στο σχόλιο του Θέωνος (ένατη γραμμή από κάτω) και μετά να πας και γύρω από το κυρίως κείμενο του Πτολεμαίου να ανακαλύψεις, κάπου εκεί στη μέση, την αρχή του σχολίου

Αν θέλεις να έχεις επιτυχία στο ψάξιμο των παλαιών χειρογράφων, καλό είναι να αποκτήσεις μερικά από τα προσόντα που διέθεταν οι παλιές κεντήστρες. Μάτι εξασκημένο στις λεπτομέρειες, παρατηρητικότητα, αυτοσυγκέντρωση, πειθαρχία, υπομονή, γνώσεις για την κάθε βελονιά και αντίστοιχα για το κάθε σημαδάκι που θα συναντήσεις, αξίζει να δίνεις σημασία ακόμη και στα περιθώρια, να έχεις μια αίσθηση για το έργο ολοκληρωμένο, επίσης να διαθέτεις πείρα, λίγη τύχη ίσως, και μαζί με όλα τα προηγούμενα άπειρο χρόνο.

Ευτυχώς υπάρχουν ακόμη άνθρωποι που τους ενδιαφέρει να περνούν, όχι ημέρες και εβδομάδες μόνο, αλλά χρόνια ολόκληρα, κάνοντας αυτό χωρίς καν αμοιβή και καθηγητές Πανεπιστημίου που πέρα από την καθοδήγηση να μπορούν να εκτιμήσουν ένα εύρημα.

Η κυρία Ιωάννα Σκούρα: σήμερα το ψάξιμο στα παλαιά χειρόγραφα γίνεται στην οθόνη του υπολογιστή αλλά και πάλι είναι το μάτι που παίζει αποφασιστικό ρόλο στις διάφορες αναζητήσεις

«Βρήκα κάτι που νομίζω ότι θα σας ενδιαφέρει. Στα σχόλια του Θέωνα, στο βιβλίο 13 της "Σύνταξης", υπάρχει σε αρκετά σημεία η παραπομπή "ζήτει το εξής εν τοις σχολίοις"...». Ετσι άρχιζε ένα ηλεκτρονικό μήνυμα που η μαθηματικός, υποψήφια διδάκτωρ κυρία Ιωάννα Σκούρα έστελνε στον καθηγητή της κ. Γιάννη Χριστιανίδη, αναπληρωτή καθηγητή στην Ιστορία των Μαθηματικών στο τμήμα το ειδικό για τη Θεωρία της Επιστήμης (ΜΙΘΕ). Ο καθηγητής με τη σειρά του, όντας ένας από τους πιο αφοσιωμένους μελετητές του Διόφαντου, κατάλαβε από την αρχή ότι αυτό το κάτι θα ενδιέφερε πολύ περισσότερους από τους λίγους ειδικούς μελετητές του Πτολεμαίου, του Διόφαντου, των σχολίων του Θέωνος και της ύστερης ελληνικής αρχαιότητας. Οτι θα έδινε μια καινούργια διάσταση στην άποψη τη σχετική με την ευχέρεια της χρήσης από τους έλληνες μαθηματικούς «αλγεβρικών» μεθόδων επίλυσης προβλημάτων. Αιώνες προτού οι Αραβες μάς παρουσιάσουν τη δική τους, αναμφισβήτητα χρήσιμη, συστηματοποίηση των αλγεβρικών μεθόδων, μετά τον 9ο αιώνα μ.Χ.

Το άλμα στις εξισώσεις

Ο καθηγητής Γιάννης Χριστιανίδης
Οπως εξηγεί ο κ. Χριστιανίδης, υπάρχει μια γενικότερη διελκυστίνδα σε παγκόσμιο πλέον επίπεδο σχετικά με τη συνεισφορά των Αράβων ως προς αυτό που ονομάζουμε «Αλγεβρα». Τα εισαγωγικά εδώ μπαίνουν για να τονιστεί πως δεν πρόκειται για την ολοκληρωμένη μορφή του οικοδομήματος που σήμερα γνωρίζουμε, ως ξεχωριστό κλάδο των Μαθηματικών με αρνητικούς και θετικούς αριθμούς, με μεταβλητές και παραμέτρους, με θεωρήματα για ομάδες, δακτυλίους και σώματα. Αυτό που πήρε τότε το όνομα Αλγεβρα ήταν στον πυρήνα του η έκφραση με εξισώσεις ενός γενικού τρόπου να λύνεις προβλήματα. Με δυο λόγια, είχαν από την εποχή του Διόφαντου τουλάχιστον και δεν ξέρουμε ακόμη πόσο πιο πριν, οι έλληνες μαθηματικοί βρει τον τρόπο προβλήματα που λύνονταν συνήθως μια περίπλοκη σειρά αλγοριθμικών βημάτων, με πρακτική αριθμητική όπως λέγαμε στο δημοτικό σχολείο, να τα λύνουν μεταφράζοντας το πρόβλημα σε εξίσωση με τη χρησιμοποίηση κάτι αντίστοιχου με τον δικό μας σημερινό άγνωστο Χ. Δηλαδή να καταστρώνουν και εκείνοι μια εξίσωση και να φθάνουν πολύ πιο εύκολα στο αποτέλεσμα.

Η σημασία της ανακάλυψης που έγινε στην έδρα της Ιστορίας των Μαθηματικών από τους Χριστιανίδη και Σκούρα έγκειται στο ότι βρέθηκε και αποδείχθηκε πως ο μαθηματικός Θέων χρησιμοποίησε και σε άλλα πεδία την «αλγεβρική» μέθοδο του Διόφαντου, που ήταν μάλλον σε κοινή χρήση από τους τότε ανθρώπους, για τη λύση πρακτικών αριθμητικών προβλημάτων. Προχώρησε δηλαδή στη λύση ενός καθαρά γεωμετρικού μετρητικού προβλήματος, με προέλευση από την αστρονομία, αφού σχετιζόταν με την τροχιά του πλανήτη Αρη, μετατρέποντάς το σε εξίσωση. Ηταν η πρώτη φορά, με τη βοήθεια του χειρογράφου και των σχολίων των χαραγμένων επάνω σε αυτό, που επιβεβαιώθηκε κάτι τέτοιο και έχει σαν σημαντική συνέπεια να θεωρούμε ότι κάπου αλλού μάλλον βρίσκονται οι ρίζες αυτής της πρωτόφτιαχτης, προ-νεωτεριστικής (pre-modern) Αλγεβρας από ό,τι για χρόνια πιστευόταν.

Μια σχολή μελετητών επιμένει ότι όλα τα ξεκίνησαν οι Αραβες και ότι πριν δεν υπήρχε τίποτε σχετικό με τη μαθηματική σκέψη με αλγεβρικούς όρους. Απέναντι σε αυτή την άποψη αντιπαρατέθηκε μια άλλη επίσης απολυταρχική σχολή. «Οι Αραβες δεν έκαναν τίποτε παραπάνω από το να μεταφράσουν και να διασώσουν κείμενα και δεν προσέθεσαν μια γραμμή στο σώμα των ήδη γνωστών μαθηματικών θεωριών». Τώρα, μετά και την αποδοχή του ευρήματος των δύο ελλήνων μαθηματικών και τη δημοσίευση, έπειτα από κρίση, σε ένα από τα αυστηρότερα περιοδικά του χώρου, στο ιαπωνικό SCIAMVS (14, 2013 41-57), μπορούμε να λέμε ότι πλέον μάλλον θα ανιχνευθούν προς διαφορετική κατεύθυνση οι βασικές ρίζες της Αλγεβρας. Ο Διόφαντος και ο Θέων δείχνουν την κατεύθυνση αυτή.

Ψηλαφώντας τα χειρόγραφα

Ενας ερευνητής, και μάλιστα Ελληνας, μπορεί, αντί να βασιστεί στις εκδόσεις των έργων των αρχαίων ελλήνων μαθηματικών από άλλους, και μάλιστα ξένους, να καθήσει να τα διαβάσει προσεκτικά ο ίδιος. Δεν είναι απλό, αλλά συχνά ανταμείβεται για την υπομονή του και την επένδυση σε χρόνο, αφού πρέπει πρώτα να περάσεις και από μια εκπαίδευση στην ανάγνωση παλαιογράφων. Στην περίπτωση λοιπόν των σχολίων του Θέωνος, χρησιμοποιήθηκε ένα αντίγραφο σε ηλεκτρονική μορφή από τον λεγόμενο κώδικα Vaticanus Graecus 198. Εκεί υπάρχει και το δέκατο τρίτο βιβλίο των σχολίων του Θέωνα αλλά δεν προσφέρεται για απλή και απρόσκοπτη ανάγνωση. Ισως και γι' αυτό να πέρασε σχετικά ανεκμετάλλευτο ως σήμερα. Υπάρχει το λεγόμενο τρέχον κείμενο, αλλά συχνά εδώ διακόπτεται η ροή με την υπόδειξη προς τον αναγνώστη «ζήτει το εξής εν τοις σχολίοις» ή «ζήτει το εξής εν τοις σχολίοις μέχρι τέλους».

Με αυτή την κάπως γριφώδη για τον αμύητο προτροπή ο Θέων, διακόπτοντας τη ροή του κειμένου του, στέλνει τον αναγνώστη στο κείμενο του Πτολεμαίου, που βρίσκεται και αυτό γραμμένο σε άλλο σημείο του πακέτου όλων αυτών των φύλλων που συγκροτούν τον κώδικα μαζί με τα αντίστοιχα σχόλια μεταφερμένα με επιμέλεια στο περιθώριο από τον άγνωστο αντιγραφέα. «Αναζήτησε τη συνέχεια στα σχόλια» ή «αναζήτησε τη συνέχεια και διάβασε εκεί το τέλος του (συγκεκριμένου) θέματος», διότι ο συγγραφέας εννοούσε πως στο ρέον κυρίως κείμενό του θα καταπιαστεί με κάτι καινούργιο. Και όταν έχεις την υπομονή να φθάσεις ως εκεί ακολουθώντας τα υπομνηστικά σημάδια, πρέπει στη συνέχεια να αναγνωρίσεις από τα ίχνη που έχει αφήσει στο περιθώριο ο (αντι)γραφέας για ποιο από όλα τα εκεί χαοτικά τοποθετημένα σχόλια πρόκειται.

Η γλώσσα των Μαθηματικών τότε

Στη συγκεκριμένη περίπτωση ο Θέων σε ένα αστρονομικό πρόβλημα του Πτολεμαίου, όπου υπάρχει και ένα συνοδευτικό γεωμετρικό σχήμα, εκτός από τη γεωμετρική απόδειξη που κάθεται και (ξανα)κάνει, συνεχίζει και μεταφράζει τα δεδομένα και τα ζητούμενα μεγέθη στη γλώσσα που είχε εισαγάγει ο Διόφαντος, με τρόπο που να σχηματιστεί μια εξίσωση. Αλλά και αυτό είναι απλό να το παρουσιάζεις περιγραφικά αλλά όχι το ίδιο εύκολο να το αναγνωρίσεις αν δεν κατέχεις τη μαθηματική γλώσσα της εποχής εκείνης. Μην ψάχνεις να βρεις κανέναν άγνωστο Χ ή τη στερεότυπη δράση που ξέρει και ο κάθε μαθητής σήμερα: χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, αλλάζω τα πρόσημα (δεν γινόταν λόγος τότε για αρνητικούς αριθμούς). Με δυο λόγια, δεν χρησιμοποιούσαν τον δικό μας συμβολισμό. Πρέπει λοιπόν κάποιος να κατέχει καλά τον Διόφαντο για να βγάλει νόημα και να εκτιμήσει την ανακάλυψη. Αφού λοιπόν στην εργασία τους οι δύο ερευνητές αναλύσουν όλη την επίλυση του Θέωνος, ασχολούνται ιδιαίτερα με μια φράση αποφασιστικής σημασίας: «διά της των Διοφαντείων αριθμών αγωγής».

Σύμφωνα με τον κ. Χριστιανίδη, τη λέξη αριθμός οι αλγεβριστές εκείνη την εποχή τη χρησιμοποιούσαν με δύο έννοιες: απλά για να δηλώσουν το σύμβολο που αντιπροσώπευε την αντίστοιχη αριθμητική αξία, δηλαδή ο αριθμός ε (το 5 της εποχής εκείνης), αλλά υπήρχε και μια δεύτερη έννοια πιο τεχνική, π.χ. με το όνομα «1 Αριθμός» εννοούσαν αυτό που εμείς σήμερα λέμε «άγνωστος Χ».  Επίσης ήταν γνωστοί και άλλοι τέτοιοι αλγεβρικοί αριθμοί, όπως «δύναμις», «κύβος», «δυναμοδύναμις»... Ολοι αυτοί οι αριθμοί συγκροτούν μια γλώσσα, την τεχνική γλώσσα της άλγεβρας της εποχής εκείνης, στην οποία μετέφραζαν το κάθε πρόβλημα. Προϊόν αυτής της μετάφρασης ήταν η εξίσωση. Ετσι μια έκφραση όπως «2 αριθμοί και 3 μονάδες είναι ίσα με 10 μονάδες» είναι μια εξίσωση, σαν τη δική μας 2Χ + 3 = 10. Αυτούς τους αριθμούς χαρακτηρίζει ο Θέων «Διοφαντείους αριθμούς». Στην ουσία ήταν τα αλγεβρικά εργαλεία της εποχής.

Επίσης αξιοπρόσεκτη είναι και η χρήση της λέξης «αγωγή». Εδώ φαίνεται ότι επρόκειτο για μια γνωστή και χρησιμοποιούμενη και από άλλους μέθοδο, κάτι ανάλογο με το δικό μας σημερινό «χρησιμοποίησα τη Μέθοδο των τριών για να το βρω». Αρα βγάζουμε και το συμπέρασμα ότι στη διάρκεια των χρόνων που μεσολάβησαν από τον Διόφαντο ως τον Θέωνα αυτές οι αλγεβρικές μέθοδοι όχι μόνο απαθανατίστηκαν και δεν χάθηκαν, αλλά ήταν πλέον ένα μαθηματικό εργαλείο σε χρήση. Και με τη διάχυσή τους αυτή για αρκετούς αιώνες κίνησαν αργότερα την προσοχή των αράβων μαθηματικών όπως ο Αλ Χουραΐζμι, οι οποίοι αναμφισβήτητα πήγαν και αυτοί τη γνώση λίγο παρακάτω.

Η ερευνητική ομάδα από το ΜΙΘΕ, προφανώς σε αναγνώριση της σημασίας της εργασίας αυτής, έχει προσκληθεί και θα παρουσιάσει την Τετάρτη 5 Μαρτίου τα σχετικά σε συνάντηση στο Παρίσι, τον Μάιο αυτό θα επαναληφθεί στο Λονδίνο, μετά στο Ισραήλ και μάλλον θα υπάρξουν και άλλοι που θα ήθελαν να μάθουν για το πώς ο Διόφαντος μέσα από τα σχόλια του περιθωρίου και την παρατηρητικότητα κάποιων ξαναμπαίνει στην κεντρική σκηνή.  

Ελληνες και Αραβες

Ο Κλαύδιος Πτολεμαίος
Ο Κλαύδιος Πτολεμαίος έζησε περίπου από το 90 ως το 168 μ.Χ. στην Αλεξάνδρεια, έγραψε όλα τα έργα του στα ελληνικά και οι σύγχρονοί του παρ' όλο που λέγεται ότι καταγόταν από τη Νότια Αίγυπτο τον θεωρούσαν Ελληνα, αφού και το όνομά του ακόμη παρέπεμπε στον έλληνα επίγονο και διάδοχο του Αλεξάνδρου στην Αίγυπτο. Ενα από τα γνωστότερα έργα του, για αιώνες σύγγραμμα αναφοράς για την Αστρονομία, ήταν η λεγόμενη «Μαθηματική Σύνταξη», αποτελούμενη από 13 βιβλία, που οι βυζαντινοί λόγιοι την ανέφεραν ως «Μεγίστη Μαθηματική Σύνταξη» και όταν τη μετέφρασαν οι Αραβες έγινε πιο γνωστή, εξαιτίας και της πρόταξης του αραβικού άρθρου «Αλ», ως «Αλμαγέστη».

Πέρα από τους αστρονομικούς πίνακες τους σχετικούς με την κίνηση των πλανητών και άλλων ουρανίων σωμάτων, ο Πτολεμαίος ασχολείται και με διάφορα άλλα προβλήματα που απαιτούν μαθηματικούς υπολογισμούς. Μόνο που σε πολλά σημεία δεν κάνει τον κόπο να παρουσιάσει αναλυτικές αποδείξεις θεωρώντας αυτές ως κάτι ευκολοαπόδεικτο. Ετσι έδωσε την ευκαιρία σε έναν άλλο μαθηματικό, τον Θέωνα, διευθυντή στο Μουσείο της Αλεξανδρείας, που έζησε κατά το Λεξικό του Σουίδα την εποχή της αυτοκρατορίας του Θεοδοσίου Α' (379-395 μ.Χ.), πατέρα της δολοφονημένης από το πλήθος σπουδαίας γυναίκας μαθηματικού Υπατίας, να γράψει άλλα δεκατρία βιβλία γεμάτα με σχόλια αντίστοιχα το καθένα με αυτά του Πτολεμαίου. Τα σχόλια αυτά εκδόθηκαν για πρώτη φορά μαζί με τη «Μεγίστη» το 1538 στην κλασική έκδοση του Joachim Camerarius. Σε αυτά δηλαδή διευκρίνιζε, απεδείκνυε, συμπλήρωνε. Δυστυχώς έχουν χαθεί το ενδέκατο βιβλίο των σχολίων και τμήματα από το πέμπτο και από άλλα βιβλία. Εχουν εκδοθεί τα τέσσερα πρώτα το 1936-1943 από τον Rome, και εκείνος υπεδείκνυε στους επομένους από αυτόν να κοιτάξουν με επιμέλεια και τα επόμενα, αλλά η υπόδειξή του αυτή για δεκαετίες αγνοήθηκε.

Ο Διόφαντος
Ο Θέων είναι φανερό από τα σχόλιά του ότι ήταν απόλυτα εξοικειωμένος με τα Μαθηματικά του Διόφαντου. Του έλληνα μαθηματικού που έζησε στην Αλεξάνδρεια  περί το 300 μ.Χ. και είναι γνωστό πως χρησιμοποιούσε «αλγεβρικές μεθόδους» για να λύνει διάφορα αριθμητικά προβλήματα. Αυτά τού έδωσαν και το προσωνύμιο «πατέρας της Αλγεβρας», αλλά μιας Αλγεβρας περισσότερο πρακτικής από όσο τη γνωρίζουμε σήμερα, ευφυούς όμως και λειτουργικής για τις γνώσεις της εποχής.

Ο Μοχάμαντ Ιμπν Μουσά αλ Χουραΐζμι (περίπου 787-850 μ.Χ.) ήταν ένας πέρσης μαθηματικός που έζησε στη Βαγδάτη, στο ανάκτορο του χαλίφη Αλ Μανσούρ. Εισήγαγε στα μαθηματικά τους ινδικούς αριθμούς και το θεσιακό δεκαδικό σύστημα, και το 820 εξέδωσε το πρώτο μεγάλο βιβλίο για την Αλγεβρα της εποχής, ενώ και η λέξη αλγόριθμος είναι παραφθορά του ονόματός του. Από εκείνη την εποχή αρχίζει και η μαθηματική επιστήμη να χρωματίζεται από την επαφή των αράβων μαθηματικών με αυτήν.

ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ:  01/03/2014 05:45, Το Βήμα